1. Translate an English mathematics article into Indonesian
ARITHMETIC
Arithmetic or arithmetics (from the Greek word αριθμός = number) is the oldest and most elementary branch of mathematics, used by almost everyone, for tasks ranging from simple day-to-day counting to advanced science and business calculations. In common usage, the word refers to a branch of (or the forerunner of) mathematics which records elementary properties of certain operations on numbers. Professional mathematicians sometimes use the term (higher) arithmetic when referring to number theory, but this should not be confused with elementary arithmetic.
a. History
The prehistory of arithmetic is limited to a very small number of small artifacts indicating a clear conception of addition and subtraction, the best-known being the Ishango bone from central Africa, dating from somewhere between 18,000 and 20,000 BC.
It is clear that the Babylonians had solid knowledge of almost all aspects of elementary arithmetic by 1800 BC, although historians can only guess at the methods utilized to generate the arithmetical results - as shown, for instance, in the clay tablet Plimpton 322, which appears to be a list of Pythagorean triples, but with no workings to show how the list was originally produced. Likewise, the Egyptian Rhind Mathematical Papyrus (dating from c. 1650 BC, though evidently a copy of an older text from c. 1850 BC) shows evidence of addition, subtraction, multiplication, and division being used within a unit fraction system.
Nicomachus (c. AD60 - c. AD120) summarised the philosophical Pythagorean approach to numbers, and their relationships to each other, in his Introduction to Arithmetic. At this time, basic arithmetical operations were highly complicated affairs; it was the method known as the "Method of the Indians" (Latin "Modus Indorum") that became the arithmetic that we know today. Indian arithmetic was much simpler than Greek arithmetic due to the simplicity of the Indian number system, which had a zero and place-value notation. The 7th century Syriac bishop Severus Sebhokt mentioned this method with admiration, stating however that the Method of the Indians was beyond description. The Arabs learned this new method and called it "Hesab" or "Hindu Science". Fibonacci (also known as Leonardo of Pisa) introduced the "Method of the Indians" to
Modern algorithms for arithmetic (both for hand and electronic computation) were made possible by the introduction of Hindu-Arabic numerals and decimal place notation for numbers. Hindu-Arabic numeral based arithmetic was developed by the great Indian mathematicians Aryabhatta, Brahmagupta and Bhāskara I. Aryabhatta tried different place value notations and Brahmagupta added zero to the Indian number system. Brahmagupta developed modern multiplication, division, addition and subtraction based on Hindu-Arabic numerals. Although it is now considered elementary, its simplicity is the culmination of thousands of years of mathematical development. By contrast, the ancient mathematician Archimedes devoted an entire work, The Sand Reckoner, to devising a notation for a certain large integer. The flourishing of algebra in the medieval Islamic world and in Renaissance Europe was an outgrowth of the enormous simplification of computation through decimal notation.
Decimal notation constructs all real numbers from the basic digits, the first ten non-negative integers 0,1,2,...,9. A decimal numeral consists of a sequence of these basic digits, with the "denomination" of each digit depending on its position with respect to the decimal point: for example, 507.36 denotes 5 hundreds (10²), plus 0 tens (101), plus 7 units (100), plus 3 tenths (10-1) plus 6 hundredths (10-2). An essential part of this notation (and a major stumbling block in achieving it) was conceiving of zero as a number comparable to the other basic digits.
Algorism comprises all of the rules of performing arithmetic computations using a decimal system for representing numbers in which numbers written using ten symbols having the values 0 through 9 are combined using a place-value system (positional notation), where each symbol has ten times the weight of the one to its right. This notation allows the addition of arbitrary numbers by adding the digits in each place, which is accomplished with a 10 x 10 addition table. (A sum of digits which exceeds 9 must have its 10-digit carried to the next place leftward.) One can make a similar algorithm for multiplying arbitrary numbers because the set of denominations {...,10²,10,1,10-1,...} is closed under multiplication. Subtraction and division are achieved by similar, though more complicated algorithms.
The traditional arithmetic operations are addition, subtraction, multiplication and division, although more advanced operations (such as manipulations of percentages, square root, exponentiation, and logarithmic functions) are also sometimes included in this subject. Arithmetic is performed according to an order of operations. Any set of objects upon which all four operations of arithmetic can be performed (except division by zero), and wherein these four operations obey the usual laws, is called a field.
(Taken from http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic)
In Indonesian:
ARITMETIKA
Aritmetika berasal dari bahasa Yunani αριθμός yang berarti “bilangan”. Aritmetika merupakan cabang matematika paling dasar yang tertua. Cabang ini digunakan oleh hampir setiap orang untuk melakukan perhitungan sederhana hingga bisnis dalam kemajuan ilmu pengetahuan. Aritmetika merupakan cikal bakal matematika yang menghasilkan operasi dasar pada bilangan. Ahli matematika profesional kadang menggunakan istilah aritmetika untuk mengartikan kata teori bilangan yang seharusnya tidak rancu dengan aritmetika dasar.
- Sejarah
Prasejarah aritmetika ditemukan pada sedikit artifak yang mengindikasikan konsep yang jelas tentang penjumlahan. Hasil terbaik yang diketahui ditemukan pada tulang Ishago di Afrika Tengah sekitar tahun 18.000-20.000 SM.
Orang-orang Babilonia mempunyai pegetahuan yang kuat pada hampir setiap aspek dasar aritmetika sekitar tahun 1800 SM. Akan tetapi, ahli sejarah hanya dapat menduga kegunaan metode yang digunakan untuk membangkitkan hasil dari aritmetika, seperti pada tablet tanah Plimpton 322 yang kemudian menjadi daftar tripel Pythagoras, tanpa cara kerja untuk menunjukkan bagaimana daftar tersebut dapat dihasilkan pada awalnya. Papirus Rhind Mesir (tahun 1650 SM, merupakan salinan dari teks yang lebih tua pada 1850 SM) menunjukkan bukti dari penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian yang digunakan pada sistem pecahan satuan.
Nicomachus meringkas filosofi Pythagoras dengan bilangan dan hubungan antara keduanya pada bukunya yang berjudul “Introduction to Arithmetic”. Pada masa ini, operasi dasar aritmetika memiliki tingkat kesulitan yang tinggi. Metode orang
Algoritma modern pada aritmetika (baik perhitungan manual atau elektronik) dapat disusun berkat pengenalan notasi tempat desimal dan angka Hindu-Arab pada bilangan. Aritmetika angka dasar Hindu-Arab dikembangkan oleh para matematikawan besar
b. Aritmetika desimal
Notasi desimal menggagasi semua bilangan real dari digit yang paling dasar, yaitu 10 bilangan positif pertama: 0, 1, 2,…,9. Bilangan desimal berisi rangkaian dari digit dasar ini dengan “denominasi” (penyebutan) dari tiap digitnya yang tergantung pada posisinya. Misalnya bilangan 507,36 merupakan 5 ratusan (102), ditambah 0 puluhan (101), ditambah 7 satuan (100), ditambah 3 seperpuluhan (10-1), ditambah 6 seperratusan (10-2). Bagian penting dari notasi ini (dan hambatan utama untuk mencapainya) adalah penyusunan nol sebagai bilangan yang dapat diperbandingkan dengan digit dasar lainnya.
Algoritma terdiri dari semua aturan dalam menyajikan perhitungan aritmetika dengan menggunakan sistem desimal untuk menampilkan bilangan, dimana bilangan yang ditulis dengan 10 simbol bernilai 0-9 dikombinasikan memakai sistem nilai tempat (notasi posisi). Setiap simbol tersebut mempunyai bobot 10 kali lipat dari satu simbol ke simbol lainnya ke arah samping kanannya. Notasi ini memperbolehkan penjumlahan bilangan sebarang dengan menambah digit pada tiap tempatnya yang disempurnakan dengan tabel penjumlahan 10x10 (jumlah digit yang melebihi 9, 10 digitnya dibawa ke posisi kirinya). Angka 1 dapat membentuk algoritma yang mirip untuk mengalikan bilangan sebarang karena himpunan dari denotasi {…,102.10,1,10-1,…} mengakhiri sebuah perkalian. Pengurangan dan pembagian didapat dengan cara serupa dengan algoritma yang lebih sukar.
c. Operasi Aritmetika
Yang termasuk operasi aritmetika tradisional adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Operasi yang lebih modern (seperti manipulasi persentase, akar kuadrat, eksponensial, dan fungsi logaritma) terkadang termasuk dalam operasi aritmetika tradisional. Aritmetika ditampilkan tergantung pada perintah operasi. Himpunan dimana keempat operasi aritmetika ini dapat ditampilkan (kecuali pembagian dengan nol) dan mengikuti aturan yang berlaku dinamakan himpunan semesta.
2. Translate an Indonesian mathematics article into English
BILANGAN KOMPLEKS
Dalam matematika, bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:
a+bi
dimana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat i 2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.
Sebagai contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2.
Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.
Dalam bidang-bidang tertentu (seperti teknik elektro, dimana i digunakan sebagai simbol untuk arus listrik), bilangan kompleks ditulis a + bj.
a. Notasi dan operasi
Himpunan bilangan kompleks umumnya dinotasikan dengan C, atau 
. Bilangan real, R, dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan C dengan menyatakan setiap bilangan real sebagai bilangan kompleks: a = a + 0i.
Bilangan kompleks ditambah, dikurang, dan dikali dengan menggunakan sifat-sifat aljabar seperti asosiatif, komutatif, dan distributif, dan dengan persamaan i 2 = −1:
(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i
(a + bi) − (c + di) = (a−c) + (b−d)i
(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bd i 2 = (ac−bd) + (bc+ad)i
Pembagian bilangan kompleks juga dapat didefinisikan (lihat dibawah). Jadi, himpunan bilangan kompleks membentuk bidang matematika yang, berbeda dengan bilangan real, berupa aljabar tertutup.
Dalam matematika, adjektif "kompleks" berarti bilangan kompleks digunakan sebagai dasar teori angka yang digunakan. Sebagai contoh, analisis kompleks, matriks kompleks, polinomial kompleks, dan aljabar Lie kompleks.
b. Definisi
Definisi formal bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real (a, b) dengan operasi sebagai berikut:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b +d)
(a, b) . (c, d) = (ac - bd, bc + ad)
Dengan definisi diatas, bilangan-bilangan kompleks yang ada membentuk suatu himpunan bilangan kompleks yang dinotasikan dengan C.
Karena bilangan kompleks a + bi merupakan spesifikasi unik yang berdasarkan sepasang bilangan riil (a, b), bilangan kompleks mempunyai hubungan korespondensi satu-satu dengan titik-titik pada satu bidang yang dinamakan bidang kompleks.
Bilangan riil a dapat disebut juga dengan bilangan kompleks (a, 0), dan dengan cara ini, himpunan bilangan riil R menjadi bagian dari himpunan bilangan kompleks C.
Dalam C, berlaku sebagai berikut:
1) Identitas penjumlahan ("nol"): (0, 0)
2) Identitas perkalian ("satu"): (1, 0)
3) Invers penjumlahan (a,b): (−a, −b)
4) Invers perkalian (reciprocal) bukan nol (a, b): [a/(a^2+b^2),-b/(a^2+b^2)]
(Taken from http://id.wikipedia.org/Bilangan_Kompleks)
In English:
COMPLEX NUMBER
In mathematics, the complex number are the number with the form:
a+bi
where a and b are real numbers, and i is the imaginary number which has a characteristic i2 = -1. The real number a is called the real part of the complex number and b is the imaginary part. The complex number is equal to the real number a if the value of b is 0.
For example, 3 + 2i is a complex number with the real part 3 and the imaginary part 2.
Complex number can be added, subtracted, multiplied, and divided as the real number, but it has some interesting additional characteristics. Such as, polynomial algebraic equation has a solution of the complex number, unlike the real number which has a half only.
In some diciplines (such as electrical engineering, where i is a symbol for current), the imaginary unit are written as a + bj.
a. Notation and Operation
The set of the complex number is denoted by C, or 
. The real number, R, can be called as a subset of C by considering every real number as a complex number :
a = a + 0i.
Complex number are added, suntracted, multiplied, and divided with the laws of algebra such as associative, commutative, and distributive, with the equation i2 = -1 :
(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i
(a + bi) − (c + di) = (a−c) + (b−d)i
(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bd i 2 = (ac−bd) + (bc+ad)i
The division of the complex number can be defined. So that, the set of the complex number can build a mathematics plane that different with the real number as an enclosed algebra.
In mathematics, the adjective of the “complex” has the meaning that the complex number is used as the based of used number theory. For example, complex analysis, complex matrix, complex polynomial, and complex Lie algebra.
b. Definition
The formal definotion of the complex number is a pair of the real number (a, b) with the operation of:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b +d)
(a, b) . (c, d) = (ac - bd, bc + ad)
The complex numbers forms the set of complex number denoted by C from above definition.
Since complex number a + bi is an uniquely specified by the real number pair (a, b), the complex number has a relation of of on-on-one corespondence with the points on a plane called the complex plane.
The real number a can be called by the complex number (a, 0). Through this way, the set of the real number R be the subset of the complex number set C.
In C, there is:
1) An additive identity (‘zero”) : (0,0)
2) A multiplicative identity (“one”) : (1,0)
3) An additive inverse (a, b) : (-a, -b)
4) A multiplicative inverse (reciprocal) nonzero (a, b) : [a/(a^2+b^2),-b/(a^2+b^2)]
Tidak ada komentar:
Posting Komentar